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    中考数学压轴题型研究(一)——动点几何问题 下面以具体实例简单的说一说此类题的解题方法。

    一、利用动点(图形)位置进行分类,把运动问题分割成几个静态问题,然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和 方程问题 例 1: (市石景山区 2010 年数学期中练习)在△ABC 中,∠B=60°,BA=24CM,BC=16CM, (1)求△ABC 的面积; (2)现有动点 P 从 A 点出发,沿射线 AB 向点 B 方向运动,动点 Q 从 C 点出发,沿射线 CB 也向点 B 方向运动。

    如果点 P 的速度 是 4CM/秒,点 Q 的速度是 2CM/秒,它们同时出发,几秒钟后,△PBQ 的面积是△ABC 的面积的一半? (3)在第(2)问题前提下,P,Q 两点之间的距离是多少? 点评:此题关键是明确点 P、Q 在△ABC 边上的位置,有三种情况。

    (1)当 0﹤t≦6 时,P、Q 分别在 AB、BC 边上; (2)当 6﹤t≦8 时,P、Q 分别在 AB 延长线上和 BC 边上; (3)当 t >8 时, P、Q 分别在 AB、BC 边上延长线上. 然后分别用第一步的方法列方程求解. B C A 例 2: (市顺义 2010 年初三???已知正方形 ABCD 的边长是 1,E 为 CD 边的中点, P 为正方形 ABCD 边上的一个动点,动 点 P 从 A 点出发,沿 A →B → C →E 运动,到达点 E.若点 P 经过的路程为自变量 x,△APE 的面积为函数 y, (1)写出 y 与 x 的关系式 (2)求当 y= 1 3 时,x 的值等于多少? 点评:这个问题的关键是明确点 P 在四边形 ABCD 边上的位置,根据题意点 P 的位置分三种情况:分别在 AB 上、BC 边上、EC 边上. 例 3:(市顺义 2010 年初三???如图 1 ,在直角梯形 ABCD 中,∠B=90°,DC∥AB, 动点 P 从 B 点出发, 沿梯形的边由 B→C → D → A 运动,设点 P 运动的路程为 x ,△ABP 的面积 为 y , 如果关于 x 的函数 y 的图象如图 2 所 示 ,那么△ABC 的面积为( A.32 B.18 C.16 ) D.10 3 4 y 动点 P 、 Q 同 x ? 6 与坐标轴分别交于 A、 B 两点, 运动, 速度为每秒 1 个单位长 例 4: (09 齐齐哈尔) 直线 y ? ? B 时从 O 点出发,同时到达 A 点,运动停止.点 Q 沿线段 O A P O Q A x 度,点 P 沿路线 O → B → A 运动. (1)直接写出 A、 B 两点的坐标; (2)设点 Q 的运动时间为 t 秒, △ O P Q 的面积为 S ,求出 S 与 t 之间的函数关系式; (3)当 S ? 48 5 时,求出点 P 的坐标,并直接写出以点 O 、 P 、 Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点 M 的坐标. 点评:本题关键是区分点 P 的位置:点 P 在 OB 上,点 P 在 BA 上。

    例 5: (2009 宁夏)已知:等边三角形 A B C 的边长为 4 厘米,长为 1 厘米的线段 M N 在 △ A B C 的边 A B 上沿 A B 方向以 1 厘米/秒的速度向 B 点运动(运动开始时,点 M 与点 A 重合,点 N 到达点 B 时运动终止) ,过点 M 、 N 分别作 A B 边的垂 线,与 △ A B C 的其它边交于 P 、 Q 两点,线段 M N 运动的时间为 t 秒. (1)线段 M N 在运动的过程中, t 为何值时,四边形 M N Q P 恰为矩形?并求出该矩形的面积; (2)线段 M N 在运动的过程中,四边形 M N Q P 的面积为 S ,运动的时间为 t .求四边形 C Q 1/6 P A M N B

    M N Q P 的面积 S 随运动时间 t 变化的函数关系式,并写出自变量 t 的取值范围. 解: (1)过点 C 作 C D ? A B ,垂足为 D .则 A D ? 2 , 当 M N 运动到被 C D 垂直平分时,四边形 M N Q P 是矩形,即 A M ? 3 2 时, 四边形 M N Q P 是矩形,? t ? 3 2 秒时,四边形 M N Q P 是矩形. C Q 3 2 ? P M ? A M ta n 6 0 ° = 3 2 3 ,? S 四 边 形 M N Q P ? 3 P (2) 1 ° 当 0 ? t ? 1 时, S 四 边 形 M N Q P ? 1 2 (PM ? QN · M N ? ) 3t ? 3 2 A M C N P B 2 ° 当 1 ≤ t ≤ 2 时, S 四 边 形 M N Q P ? 1 2 (PM ? QN · M N ? ) 3 2 3 Q 3 ° 当 2 ? t ? 3 时, S 四 边 形 M N Q P ? 1 2 (PM ? QN · M N ? ? ) 3t ? 7 2 3 A M N B 点评:此题关键也是对 P、Q 两点的不同位置进行分类。

    例 6: (2009 四川乐山) .如图(15) ,在梯形 A B C D 中, D C ∥ A B , ? A ? 9 0 °, A D ? 6 厘米, D C ? 4 厘米, B C 的坡度 i ? 3∶ 4, 动点 P 从 A 出发以 2 厘米/秒的速度沿 A B 方向向点 B 运动,动点 Q 从点 B 出发以 3 厘米/秒的速度沿 B ? C ? D 方向向点 D 运动,两个动点同时出发,当其中一个动点到达终点时,另一个动 D 点也随之停止.设动点运动的时间为 t 秒. (1)求边 B C 的长; (2)当 t 为何值时, P C 与 B Q 相互平分; c C c Q c P E (3) c c图 B c A (3)连结 P Q , △ P B Q 的面积为 y, 设 探求 y 与 t 的函数关系式,求 t 为何值时, y 有最 c 大值?最大值是多少? 6. 解: (1)作 C E ? A B 于点 E ,如图(3)所示,则四边形 A E C D 为矩形. ? 又 ? A E ? C D ? 4, C E ? D A ? 6. ? i ? 3∶ 4, CE EB ? 3 4 . E B ? 8, A B ? 1 2. ? 2分 在 R t △ C E B 中,由勾股定理得: B C ? CE ? EB 2 2 ? 1 0. (2)假设 P C 与 B Q 相互平分.由 D C ∥ A B , P B C Q 是平行四边形(此时 Q 在 C D 上) ······· 则 . ······ ? 即 C Q ? B P , 3 t ? 1 0 ? 1 2 ? 2 t. 解得 t ? 22 5 , t ? 即 22 5 秒时, P C 与 B Q 相互平分. (3)①当 Q 在 B C 上,即 0 ≤ t ≤ 10 3 时,作 Q F ? A B 于 F ,则 C E ∥ Q F . 2/6

    ? QF CE ? BQ BC , 即 QF 6 ? 3t 10 . QF ? ? 9t 5 . S △ PBQ ? ? 1 2 PB QF ? · 1 2 (1 2 ? 2 t · ) 9t 5 =? 9 5 (t ? 3) ? 2 81 5 . 当 t ? 3 秒时,? S △ P B Q 有最大值为 81 5 厘米 . 2 ②当 Q 在 C D 上,即 10 3 ≤ t≤ 14 3 时,? S △ P B Q ? 1 2 PB CE ? · 1 2 (1 2 ? 2 t ) ? 6 = 3 6 ? 6 t. 易知 S 随 t 的增大而减?。实?t ? 10 3 秒时,? S △ P B Q 有最大值为 3 6 ? 10 3 ? 6 ? 16厘 米 . 2 ? 9 2 54 ? 10 ? t, 0 ≤ t ? ? ? ? t ? 5 3 ? 81 ?5 ? ? ? 1 6, y ? ? 5 ? ? ? 6 t ? 3 6. 1 0 ≤ t ≤ 1 4 ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? 综上,当 t ? 3 时, S △ P B Q 有最大值为 81 5 厘米 . 2 二、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质(或所求图形面积)直接转化为函数或方程。

    例 7: (包头)如图,已知 △ A B C 中, A B ? A C ? 1 0 厘米, B C ? 8 厘米,点 D 为 A B 的 中点. (1)如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动,同时,点 Q 在线段 CA 上 由 C 点向 A 点运动. ①若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等,经过 1 秒后, △ B P D 与 △ C Q P 是否全等, 请说明理由; A D Q B C P ②若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等,当点 Q 的运动速度为多少时,能够使 △ B P D 与 △ C Q P 全等? (2)若点 Q 以②中的运动速度从点 C 出发,点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发,都逆时针沿 △ A B C 三边运动,求经过 多长时间点 P 与点 Q 第一次在 △ A B C 的哪条边上相遇? 解:(1)①∵ t ? 1 秒,∴ B P ? C Q ? 3 ? 1 ? 3 厘米, ∵ A B ? 1 0 厘米,点 D 为 A B 的中点,∴ B D ? 5 厘米. 又∵ P C ? B C ? B P, B C ? 8 厘米,∴ P C ? 8 ? 3 ? 5 厘米,∴ P C ? B D . 又∵ A B ? A C ,∴ ? B ? ? C ,∴ △ B P D ≌ △ C Q P . ②∵ v P ? v Q , ∴ B P ? C Q , 又∵ △ B P D ≌ △ C Q P , ? B ? ? C ,则 B P ? P C ? 4, C Q ? B D ? 5 , ∴点 P ,点 Q 运动的时间 t ? BP 3 ? 4 3 秒,∴ v Q ? CQ t ? 5 4 3 ? 15 4 厘米/秒. (2)设经过 x 秒后点 P 与点 Q 第一次相遇,由题意,得 15 4 x ? 3 x ? 2 ? 1 0 ,解得 x ? 3/6 80 3 秒.

    ∴点 P 共运动了 80 3 ? 3 ? 8 0 厘米. ∵ 8 0 ? 2 ? 2 8 ? 2 4 ,∴点 P 、点 Q 在 A B 边上相遇,∴经过 80 3 秒点 P 与点 Q 第一次在边 A B 上相遇. 例 8: (09 济南)如图,在梯形 A B C D 中, A D ∥ B C , A D ? 3, D C ? 5, A B ? 4 2 , ∠ B ? 4 5 ?. 动点 M 从 B 点出发沿线段 B C 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 C 运动;动点 N 同时从 C 点出发沿线段 C D 以每秒 1 个单位长度的速度向 终点 D 运动.设运动的时间为 t 秒. (1)求 B C 的长. (2)当 M N ∥ A B 时,求 t 的值. (3)试探究: t 为何值时, △ M N C 为等腰三角形. 解: (1)如图①,过 A 、 D 分别作 A K ? B C 于 K , D H ? B C 于 H ,则四边形 A D H K 是矩形 ∴ K H ? A D ? 3. R t △ A B K 中, A K ? A B ?s in 4 5 ? ? 4 在 2. 2 2 ? 4 B K ? A B ?c o s 4 5 ? ? 4 2? 2 2 ? 4 在, R t △ C D H 中,由勾股定理得, H C ? 5 ?4 2 2 ?3 ∴ BC ? BK ? K H ? H C ? 4 ? 3 ? 3 ? 10 A D A D N B K (图①) H C B M (图②) G C (2)如图②,过 D 作 D G ∥ A B 交 B C 于 G 点,则四边形 A D G B 是平行四边形 ∵ M N ∥ AB ∴ M N ∥ D G ∴ BG ? AD ? 3 ∴G C ? 10 ? 3 ? 7 由题意知,当 M 、 N 运动到 t 秒时, C N ? t, C M ? 1 0 ? 2 t. ∵ D G ∥ M N ∴∠ N M C ? ∠ D G C 又∠ C ? ∠ C ∴△ M NC ∽ △GDC ∴ CN CD ? CM CG 即 t 5 ? 10 ? 2t 7 解得, t ? 50 17 (3)分三种情况讨论:①当 N C ? M C 时,如图③,即 t ? 1 0 ? 2 t ∴ t ? 10 3 A D N A D N B (图③) ②当 M N ? N C 时,如图④,过 N 作 N E ? M C 于 E 解法一:由等腰三角形三线合一性质得 E C ? M C B (图④) M HE C 1 2 MC ? 1 2 ?1 0 ? 2 t ? ? 5?t 在 R t △ C E N 中, c o s c ? EC NC ? 5?t t 又在 R t △ D H C 中, c o s c ? CH CD ? 3 5 ∴ 5?t t ? 3 5 解得 t ? 25 8 4/6

    ∵∠ C ? ∠ C , ? D H C ? ? N E C ? 9 0 ? ∴ △ N E C ∽ △ D H C ∴ NC DC ? EC HC 即 t 5 ? 5?t 3 ∴t ? 25 8 ③当 M N ? M C 时,如图⑤,过 M 作 M F ? C N 于 F 点. F C ? 解法一: (方法同②中解法一) 1 2 NC ? 1 2 t A 解得 t ? D N F 1 cos C ? 解法二: FC MC t ? ? 2 10 ? 2t 3 5 60 17 B (图⑤) HM C ∵∠ C ? ∠ C , ? M F C ? ? D H C ? 9 0 ? ∴ △ M F C ∽ △ D H C ∴ FC HC ? MC t 60 10 ? 2t 即 2 ? ∴t ? 17 DC 3 5 1 综上所述,当 t ? 10 3 、t ? 25 8 或t ? 60 17 时, △ M N C 为等腰三角形 例 9: (呼和浩特)如图,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90o,AB=12cm,AD=8cm,BC=22cm,AB 为⊙O 的直径, 动点 P 从点 A 开始沿 AD 边向点 D 以 1cm/s 的速度运动, 动点 Q 从点 C 开始沿 CB 边向点 B 以 2cm/s 的速度运动, Q 分别从点 A、 P、 C 同时出发,当其中一点到达端 点时,另一个动点也随之停止运动.设运动时间为 t(s). (1)当 t 为何值时,四边形 PQCD 为平行四边形? (2)当 t 为何值时,PQ 与⊙O 相切? 解:(1)∵直角梯形 A B C D,A D ∥ B C ? P D ∥ Q C A P D O B C Q ? 当 P D ? Q C 时,四边形 P Q C D 为平行四边形. 由题意可知: A P ? t, C Q ? 2 t A P D ? 8 ? t ? 2 t , 3t ? 8 , t ? 8 3 O B Q A P H D C ? 当t ? 8 3 s 时,四边形 P Q C D 为平行四边形. (2)解:设 P Q 与 ⊙ O 相切于点 H , 过点 P 作 P E ? B C , 垂足为 E O ? 直角梯形 A B C D , A D ∥ B C ? P E ? A B 由题意可知: A P ? B E ? t, C Q ? 2 t ? B Q ? B C ? C Q ? 2 2 ? 2 t E Q ? B Q ? B E ? 2 2 ? 2 t ? t ? 2 2 ? 3t B E Q C ? A B 为 ⊙ O 的直径, ? A B C ? ? D A B ? 9 0 ° ? A D 、 B C 为 ⊙ O 的切线? A P ? P H , H Q ? B Q ? P Q ? P H ? H Q ? A P ? B Q ? t ? 2 2 ? 2t ? 2 2 ? t 5/6

    在 R t △ P E Q 中, P E 2 2 ? EQ 2 ? P Q ? 1 2 ? ( 2 2 ? 3 t ) ? ( 2 2 ? t ) 即: 8 t ? 8 8 t ? 1 4 4 ? 0 2 2 2 2 2 t ? 1 1t ? 1 8 ? 0 , ( t ? 2 )( t ? 9 ) ? 0 ? t 1 ? 2 , t 2 ? 9 AD 1 ? 当 t ? 2 秒时, P Q 与 ⊙ O 相切. 7分 因为 P 在 A D 边运动的时间为 ? 8 1 ? 8 秒,而 t ? 9 ? 8 ? t ? 9 (舍去) 例 10.如图,在矩形 ABCD 中,BC=20cm,P,Q,M,N 分别从 A,B,C,D 出发 沿 AD,BC,CB,DA 方向在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边的另 一个端点时,运动即停止.已知在相同时间内,若 BQ=xcm( x ? 0 ),则 AP=2xcm, CM=3xcm,DN=x cm. (1)当 x 为何值时,以 PQ,MN 为两边,以矩形的边(AD 或 BC)的一部分为第三边构 成一个三角形; (2)当 x 为何值时,以 P,Q,M,N 为顶点的四边形是平行四边形; 2 A P N D B Q M C (3)以 P,Q,M,N 为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能,求 x 的值;如果不能,请说明理由. 解: (1)当点 P 与点 N 重合或点 Q 与点 M 重合时,以 PQ,MN 为两边,以矩形的边(AD 或 BC)的一部分为第三边可能构成一个三角 形. ①当点 P 与点 N 重合时, 由x 2 ? 2 x ? 2 0, 得 x1 ? 21 ? 1 ,x2 ? ? 2 1 ? 1(舍去) 因为 BQ+CM= x ? 3 x ? 4 ( . 2 1 ? 1) ? 2 0 , 此时点 Q 与点 M 不重合. 所 以x ? 2 1 ? 1 符合题意. ②当点 Q 与点 M 重合时, 由 x ? 3 x ? 20, 得 x ? 5 .此时 D N ? x 2 ? 2 5 ? 2 0 ,不符合题意.故点 Q 与点 M 不能重合. 所以所求 x 的值为 21 ? 1 . (2)由(1)知,点 Q 只能在点 M 的左侧, ①当点 P 在点 N 的左侧时,由 2 0 ? ( x ? 3 x ) ? 2 0 ? ( 2 x ? x ) ,解得 x1 ? 0 ( 舍 去 ), x 2 ? 2 . 2 当 x=2 时四边形 PQMN 是平行四边形. ②当点 P 在点 N 的右侧时,由 2 0 ? ( x ? 3 x ) ? ( 2 x ? x ) ? 2 0 , 2 解得 x1 ? ? 1 0 ( 舍 去 ) , x 2 ? 4 . 当 x=4 时四边形 NQMP 是平行四边形.所以当 x ? 2 或 x ? 4 时,以 P,Q,M,N 为顶点的四边形是平行四边形. (3)过点 Q,M 分别作 AD 的垂线,垂足分别为点 E,F.由于 2x>x,所以点 E 一定在点 P 的左侧. 若以 P,Q,M,N 为顶点的四边形是等腰梯形, 2 则点 F 一定在点 N 的右侧,且 PE=NF, 即 2 x ? x ? x ? 3 x .解得 x1 ? 0 ( 舍 去 ), x 2 ? 4 . 由于当 x=4 时, 以 P,Q,M,N 为顶点的四边形是平行四边形,所以,以 P,Q,M,N 为顶点的四边形不能为等腰梯形. 6/6

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